9.2 长短期记忆网络（LSTM）

要点

和 GRU 的思想一致，通过 $F$ 和 $I$ 来控制过去的信息和当前的信息比重，最后 $O$ 来控制记忆 $C$ 的输出 $H$ ，并转化到 $(- 1, 1)$ 之间方便训练，防止梯度爆炸
和 GRU，普通 RNN 不同的是，状态有两个（ $C$ 和 $H$ ）

1. 输入门、忘记门和输出门

我们来细化一下长短期记忆网络的数学表达。假设有 $h$ 个隐藏单元, 批量大小为 $n$ , 输入数为 $d$ 。因此, 输入为 $X_{t} \in R^{n \times d}$ , 前一时间步的隐状态为 $H_{t - 1} \in R^{n \times h}$ 。相应地, 时间步 $t$ 的门被定义如下: 输入门是 $I_{t} \in R^{n \times h}$ , 遗忘门是 $F_{t} \in R^{n \times h}$ , 输出门是 $O_{t} \in R^{n \times h}$ 。它们的计算方法如下:

\begin{aligned} I_{t} & = σ (X_{t} W_{x i} + H_{t - 1} W_{h i} + b_{i}), \\ F_{t} & = σ (X_{t} W_{x f} + H_{t - 1} W_{h f} + b_{f}), \\ O_{t} & = σ (X_{t} W_{x o} + H_{t - 1} W_{h o} + b_{o}), \end{aligned}

其中 $W_{x i}, W_{x f}, W_{x o} \in R^{d \times h}$ 和 $W_{h i}, W_{h f}, W_{h o} \in R^{h \times h}$ 是权重参数， $b_{i}, b_{f}, b_{o} \in R^{1 \times h}$ 是偏置

2. 候选记忆元

实际上就是 rnn 里面的状态：

{\tilde{C}}_{t} = tanh (X_{t} W_{x c} + H_{t - 1} W_{h c} + b_{c}),

3. 记忆元

与 GRU 更新门类似，控制有多少之前的状态需要记住：

C_{t} = F_{t} ⊙ C_{t - 1} + I_{t} ⊙ {\tilde{C}}_{t} .

和普通 RNN 不一样，这里还输出了记忆 $C_{t}$ ，输入的 $C_{t - 1}$ 是上一个时刻传进来的
不像 GRU 的更新门[[9.1 门控循环单元（GRU）#^f022e1]]，GRU会把状态凸组合继续限定到（0,1），如果LSTM 这里如果直接输出 $C_{t}$ 当做隐藏状态，这个值随着时间步增加范围会越来越大，所以还需要输出门对记忆进行 normalize

4. 输出门

H_{t} = O_{t} ⊙ \tanh (C_{t}) .

这里确保了 $H_{t}$ 的值始终在 $(- 1, 1)$ 内，利于梯度反向传播

5. 三个门总结

\begin{aligned} I_{t} & = σ (X_{t} W_{x i} + H_{t - 1} W_{h i} + b_{i}) \\ F_{t} & = σ (X_{t} W_{x f} + H_{t - 1} W_{h f} + b_{f}) \\ O_{t} & = σ (X_{t} W_{x o} + H_{t - 1} W_{h o} + b_{o}) \\ {\tilde{C}}_{t} & = \tanh (X_{t} W_{x c} + H_{t - 1} W_{h c} + b_{c}) \\ C_{t} & = F_{t} ⊙ C_{t - 1} + I_{t} ⊙ {\tilde{C}}_{t} \\ H_{t} & = O_{t} ⊙ \tanh (C_{t}) \end{aligned}

LSTM 中间有三个状态相关的参数：

$F$ 控制多少原来的状态被忘记
$I$ 控制多少现在的状态输入出去
$O$ 控制下一个状态是否要重置为 0

6. 从 0 开始实现 LSTM

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

batch_size, num_steps = 32, 35
train_iter, vocab = d2l.load_data_time_machine(batch_size, num_steps)

6.1 初始化模型

def get_lstm_params(vocab_size, num_hiddens, device):
    num_inputs = num_outputs = vocab_size

    def normal(shape):
        return torch.randn(size=shape, device=device)*0.01

    def three():
        return (normal((num_inputs, num_hiddens)),
                normal((num_hiddens, num_hiddens)),
                torch.zeros(num_hiddens, device=device))

    W_xi, W_hi, b_i = three()  # 输入门参数
    W_xf, W_hf, b_f = three()  # 遗忘门参数
    W_xo, W_ho, b_o = three()  # 输出门参数
    W_xc, W_hc, b_c = three()  # 候选记忆元参数
    # 输出层参数
    W_hq = normal((num_hiddens, num_outputs))
    b_q = torch.zeros(num_outputs, device=device)
    # 附加梯度
    params = [W_xi, W_hi, b_i, W_xf, W_hf, b_f, W_xo, W_ho, b_o, W_xc, W_hc,
              b_c, W_hq, b_q]
    for param in params:
        param.requires_grad_(True)
    return params

6.2 定义模型

和 GRU 不一样的是，这里的模型输入输出的状态有 $H$ 和 $C$ 两个，实际上形状是一样的

def init_lstm_state(batch_size, num_hiddens, device):
    return (torch.zeros((batch_size, num_hiddens), device=device),
            torch.zeros((batch_size, num_hiddens), device=device))

按照上面定义实现，和 GRU 类似

def lstm(inputs, state, params):
    [W_xi, W_hi, b_i, W_xf, W_hf, b_f, W_xo, W_ho, b_o, W_xc, W_hc, b_c,
     W_hq, b_q] = params
    (H, C) = state
    outputs = []
    for X in inputs:
        I = torch.sigmoid((X @ W_xi) + (H @ W_hi) + b_i)
        F = torch.sigmoid((X @ W_xf) + (H @ W_hf) + b_f)
        O = torch.sigmoid((X @ W_xo) + (H @ W_ho) + b_o)
        C_tilda = torch.tanh((X @ W_xc) + (H @ W_hc) + b_c)
        C = F * C + I * C_tilda
        H = O * torch.tanh(C)
        Y = (H @ W_hq) + b_q
        outputs.append(Y)
    return torch.cat(outputs, dim=0), (H, C)

6.3 训练与预测

vocab_size, num_hiddens, device = len(vocab), 256, d2l.try_gpu()
num_epochs, lr = 500, 1
model = d2l.RNNModelScratch(len(vocab), num_hiddens, device, get_lstm_params,
                            init_lstm_state, lstm)
d2l.train_ch8(model, train_iter, vocab, lr, num_epochs, device)

perplexity 1.3, 17736.0 tokens/sec on cuda:0
time traveller for so it will leong go it we melenot ir cove i s
traveller care be can so i ngrecpely as along the time dime

6.4 简洁实现

num_inputs = vocab_size
lstm_layer = nn.LSTM(num_inputs, num_hiddens)
model = d2l.RNNModel(lstm_layer, len(vocab))
model = model.to(device)
d2l.train_ch8(model, train_iter, vocab, lr, num_epochs, device)

perplexity 1.1, 234815.0 tokens/sec on cuda:0
time traveller for so it will be convenient to speak of himwas e
travelleryou can show black is white by argument said filby

参考文献

https://colah.github.io/posts/2015-08-Understanding-LSTMs/